給曾經害怕數學、不知道學數學有什麼用的你－－ 學數學，讓你「多擁有一種靈魂」。 ▍東京大學博士、加州理工學院理論物理學研究所所長大栗博司， 帶你用生活的眼光認識、理解重要數學概念，不再害怕數學， 更發現世界隱藏在數學背後的真實面貌。▍ 學數學其實就像學一種新的語言，是一扇帶你進入未知世界的門。而這本數學書，就像一本實用的生活會話書，而非硬邦邦的文法課本，以輕鬆而深入淺出的筆法，讓我們體會數學的趣味與美──由最基本的算術、方程式、基本幾何、畢氏定理、機率等國高中數學，到大學的微積分，以及更進階的複數系統、群論，透過真實生活中的例子及歷史軼事，讓我們拋開對數學的刻板印象，真正認識數學的本質，進而能夠用數學這個「語言」與世界對話。 ■　為什麼美國政府會向大眾宣告「不建議女性每年接受乳癌篩檢」？ ■　「納皮爾常數」可以用來挑選戀人，現代天文學之父克卜勒甚至以它來挑選再婚對象！ ■　畢達哥拉斯的弟子發現了無法化為分數的數，卻因此惹來殺身之禍？ ■　不能理解「負數」概念別擔心，因為連帕斯卡、笛卡兒等偉大數學家也都沒辦法接受！ ■　如果少了質數，我們可能再也沒辦法網路購物？ ■　「對數函數」的發明，讓天文學家壽命延長了兩倍！ ■　古希臘人如何在西元前3世紀就知道「地球是圓的」，甚至算出地球的大小？ …… 不論你過去是否討厭數學，本書將讓你看見它的本質， 以及它在歷史上及現代生活中扮演的角色，發現學習數學的意義及樂趣！ 【國內數學專家、學者，共感推薦！】 李信昌（數學網站「昌爸工作坊」站長） 林福來（台師大數學系講座教授、數學教育中心主任） 林壽福（興雅國中退休教師、台師大傑出校友） 施信源（新北市龍埔國小國際教育中心主任） 洪萬生（台師大數學系退休教授） 陳記住（網路數學課程創作老師） 賴以威（「數感實驗室」共同創辦人、台師大電機系助理教授） 大栗博司希望透過書中的豐富內容啟發女兒與讀者明白「數學是為了將事物回歸到基本原理、盡可能正確地表現出事物樣貌而產生的語言。」使用數學的語言可以精準的描述自己的想法，展現自主思考的能力。伽利略認為「自然寫在宇宙這本大書上，而這本書是用數學語言寫成的。」如今大家身處大數據資訊洪流裡，如何萃取當中的本質，建立模式，更需要依賴數學的語言。 ──李信昌（數學網站「昌爸工作坊」站長） 在新課綱朝向真實世界與學科知識結合的素養教育中，現象與人類之間的溝通，更需要順暢的語言進行流動。透過本書風趣、真實的文字敘述，讓我們找到數學的視覺、聽覺與觸覺的新感受，跨越數學與生活的鴻溝，咀嚼思考所帶來的驚艷與感動！ ──施信源（新北市龍埔國小國際教育中心主任） 傑出物理學家大栗博司至少精通四種語言：日文、英文、物理，以及數學。不過，他透過本書內容精彩而手法獨到的敘事，最想與他女兒及讀者分享的，則莫過於數學語言。這是因為他認為「數學是一種為了可以正確的表示事物本質而創造的語言，而這一點正是英語或日語無法達到的。」所以，「如果明白了數學這種語言，就能夠說出以前無法述說的話語、看清以前不曾見過的事物，思考以前不曾想過的問題。」 ──洪萬生（台灣師範大學數學系退休教授） 這是一本以愛為出發點所寫的數學書，讀起來感覺特別好。雖然是作者為剛進高中的女兒所寫的書，考慮作者女兒的知識背景，由最基本的算術、方程式、基本幾何、畢氏定理、機率等國中數學的學習內容，詳加引導，依序推演到高中數學，並於第七章介紹大學理工科必修的微積分，和最末章，介紹在現實世界中不存在，但是確定存在於數學世界的複數系統，處處可見一位父親，為女兒的學習路步步建立生動且一貫的系統，為其日後學習建立最佳榜樣，及日後學習最佳基礎。 　由於本人所學的是工程，雖然現在是數學老師，但有些內容都是第一次接觸，也算是讀本書最大的收獲。相信對高中生、大學生、和熱愛數學的人來說，不但可以從本書中得到許多寶貴的數學知識，也可以感受到一位父親對女兒的愛，而這愛將由本書流到愛閱讀的讀者裡面，成為日後學習的動力與最大幫助。 ──陳記住（網路數學課程創作老師） 有涉獵數學科普書的朋友，一定對書中某幾個數學故事不陌生：無限個房間的旅館，某天來了無限多位客人；從辛普森殺人案件中討論機率；質數在加密解密上的應用……事實上，書中所用的都是相當經典的數學故事。但看過不代表就沒意思，經典之所以是經典在於它能讓人印象深刻。所以我們看到羅密歐與茱麗葉的故事不斷被改編，金庸小說每隔幾年就被拿上螢幕重拍一次。透過不同的詮釋，經典會被賦予不同的感受。大栗博司教授就是一位能充分發揮數學經典魅力的作家。 　伽利略說過：「自然界的書是用數學的語言寫成。」把學校課本視為文法書，這本書視為旅遊會話書，重新以語言的角度來看待數學，活用數學。相信習慣後，你的思維也會被數學固有的特質，雕塑得更加精確，更有邏輯性。現在，準備好閱讀這本用數學寫下的經典童話了嗎？ ──賴以威（「數感實驗室」共同創辦人、台師大電機系助理教授）

給曾經害怕數學、不知道學數學有什麼用的你－－ 學數學，讓你「多擁有一種靈魂」。 ▍東京大學博士、加州理工學院理論物理學研究所所長大栗博司， 帶你用生活的眼光認識、理解重要數學概念，不再害怕數學， 更發現世界隱藏在數學背後的真實面貌。▍ 學數學其實就像學一種新的語言，是一扇帶你進入未知世界的門。而這本數學書，就像一本實用的生活會話書，而非硬邦邦的文法課本，以輕鬆而深入淺出的筆法，讓我們體會數學的趣味與美──由最基本的算術、方程式、基本幾何、畢氏定理、機率等國高中數學，到大學的微積分，以及更進階的複數系統、群論，透過真實生活中的例子及歷史軼事，讓我們拋開對數學的刻板印象，真正認識數學的本質，進而能夠用數學這個「語言」與世界對話。 ■　為什麼美國政府會向大眾宣告「不建議女性每年接受乳癌篩檢」？ ■　「納皮爾常數」可以用來挑選戀人，現代天文學之父克卜勒甚至以它來挑選再婚對象！ ■　畢達哥拉斯的弟子發現了無法化為分數的數，卻因此惹來殺身之禍？ ■　不能理解「負數」概念別擔心，因為連帕斯卡、笛卡兒等偉大數學家也都沒辦法接受！ ■　如果少了質數，我們可能再也沒辦法網路購物？ ■　「對數函數」的發明，讓天文學家壽命延長了兩倍！ ■　古希臘人如何在西元前3世紀就知道「地球是圓的」，甚至算出地球的大小？ …… 不論你過去是否討厭數學，本書將讓你看見它的本質， 以及它在歷史上及現代生活中扮演的角色，發現學習數學的意義及樂趣！ 【國內數學專家、學者，共感推薦！】 李信昌（數學網站「昌爸工作坊」站長） 林福來（台師大數學系講座教授、數學教育中心主任） 林壽福（興雅國中退休教師、台師大傑出校友） 施信源（新北市龍埔國小國際教育中心主任） 洪萬生（台師大數學系退休教授） 陳記住（網路數學課程創作老師） 賴以威（「數感實驗室」共同創辦人、台師大電機系助理教授） 大栗博司希望透過書中的豐富內容啟發女兒與讀者明白「數學是為了將事物回歸到基本原理、盡可能正確地表現出事物樣貌而產生的語言。」使用數學的語言可以精準的描述自己的想法，展現自主思考的能力。伽利略認為「自然寫在宇宙這本大書上，而這本書是用數學語言寫成的。」如今大家身處大數據資訊洪流裡，如何萃取當中的本質，建立模式，更需要依賴數學的語言。 ──李信昌（數學網站「昌爸工作坊」站長） 在新課綱朝向真實世界與學科知識結合的素養教育中，現象與人類之間的溝通，更需要順暢的語言進行流動。透過本書風趣、真實的文字敘述，讓我們找到數學的視覺、聽覺與觸覺的新感受，跨越數學與生活的鴻溝，咀嚼思考所帶來的驚艷與感動！ ──施信源（新北市龍埔國小國際教育中心主任） 傑出物理學家大栗博司至少精通四種語言：日文、英文、物理，以及數學。不過，他透過本書內容精彩而手法獨到的敘事，最想與他女兒及讀者分享的，則莫過於數學語言。這是因為他認為「數學是一種為了可以正確的表示事物本質而創造的語言，而這一點正是英語或日語無法達到的。」所以，「如果明白了數學這種語言，就能夠說出以前無法述說的話語、看清以前不曾見過的事物，思考以前不曾想過的問題。」 ──洪萬生（台灣師範大學數學系退休教授） 這是一本以愛為出發點所寫的數學書，讀起來感覺特別好。雖然是作者為剛進高中的女兒所寫的書，考慮作者女兒的知識背景，由最基本的算術、方程式、基本幾何、畢氏定理、機率等國中數學的學習內容，詳加引導，依序推演到高中數學，並於第七章介紹大學理工科必修的微積分，和最末章，介紹在現實世界中不存在，但是確定存在於數學世界的複數系統，處處可見一位父親，為女兒的學習路步步建立生動且一貫的系統，為其日後學習建立最佳榜樣，及日後學習最佳基礎。 　由於本人所學的是工程，雖然現在是數學老師，但有些內容都是第一次接觸，也算是讀本書最大的收獲。相信對高中生、大學生、和熱愛數學的人來說，不但可以從本書中得到許多寶貴的數學知識，也可以感受到一位父親對女兒的愛，而這愛將由本書流到愛閱讀的讀者裡面，成為日後學習的動力與最大幫助。 ──陳記住（網路數學課程創作老師） 有涉獵數學科普書的朋友，一定對書中某幾個數學故事不陌生：無限個房間的旅館，某天來了無限多位客人；從辛普森殺人案件中討論機率；質數在加密解密上的應用……事實上，書中所用的都是相當經典的數學故事。但看過不代表就沒意思，經典之所以是經典在於它能讓人印象深刻。所以我們看到羅密歐與茱麗葉的故事不斷被改編，金庸小說每隔幾年就被拿上螢幕重拍一次。透過不同的詮釋，經典會被賦予不同的感受。大栗博司教授就是一位能充分發揮數學經典魅力的作家。 　伽利略說過：「自然界的書是用數學的語言寫成。」把學校課本視為文法書，這本書視為旅遊會話書，重新以語言的角度來看待數學，活用數學。相信習慣後，你的思維也會被數學固有的特質，雕塑得更加精確，更有邏輯性。現在，準備好閱讀這本用數學寫下的經典童話了嗎？ ──賴以威（「數感實驗室」共同創辦人、台師大電機系助理教授） 加州理工學院Walter Burke理論物理學研究所所長、Fred Kavli名譽教授，數學、物理、天文部門副部門長。也擔任東京大學Kavli數物聯合宇宙研究機構主任研究員。1962年生，京都大學理學部畢業，東京大學理學博士。曾任東京大學助理、普林斯頓高等研究所研究員、芝加哥大學助理教授、京都大學助理教授、加州大學柏克萊分校教授。研究專業為基本粒子論。2008年獲得艾森巴德獎（美國數學學會）、高木lecture（日本數學學會），2009年獲得洪保德獎、仁科紀念獎、12年賽門斯研究獎。亞斯本物理學中心理事，日本數學會會員。著有《重力是什麼》、《強的力與弱的力》、《大栗老師的超弦理論入門》、《基本粒子論的風景》、《用漫畫學超弦理論》等。 前言　送給女兒的數學課
　　在妳出生的時候，我希望妳能夠一輩子都過著幸福快樂的生活，與此同時，也希望妳能成為一個對社會進步有貢獻的人。雖然現代社會存在許許多多的問題，不過我認為我們正好生活在人類史上最光明燦爛的時代。父母親比起任何人都更希望自己的子女能夠享受到世界上最好的東西，但是我卻覺得不只該是這樣。這個社會是由人類的知識以及努力逐漸累積形成的。所以，我們不能僅僅只是享受前人努力換來的成果，同時也要做出更好的東西，留傳到下一個世代。
21 世紀是個充滿不確定感的時代，連國際社會上的法則都逐漸改變。中國有13億人，而印度有12億的人口。如果這些人大多數都能接受高等教育，進而從事知識產業的話，世界應該會發生驚天動地的改變吧。每當說到這樣的話題，總是有人聯想到日本或是美國等先進國家的年輕人未來應該會遭受到很大的威脅，不過我卻不這麼想。如果開發中國家的幾十億人都能夠有機會接受良好教育，那麼就能夠不斷產生嶄新的創意來解決現代社會的問題了。如果全世界的教育程度都提高，能夠分配的大餅也會增加。對於出生在21世紀的妳而言，這是一個很大的挑戰，但是我認為，這同時也是前所未有的轉機。
要在這個不斷改變的世界上生存下去的必須能力是什麼呢？我認為是「自主思考的能力」。歐美教育有著博雅教育（Liberal arts）的傳統。博雅教育是從古希臘以及羅馬時代開始的，Liberal 本來意味著自由，也就是不被當成奴隸。也就是說，博雅教育是一種教養方法，希望培育出能夠透過自己的自由意志來改變命運的自由人。想要成為領導者的話，必須要鍛鍊的能力就是─面對預料之外的事情時，自己思考解決問題的能力。
在古羅馬時期，所謂的博雅教育包含了「邏輯」、「文法」、「修辭」、「音樂」、「天文」、「算術」以及「幾何」等七個科目。前三項是為了訓練能夠說出具有說服力的話語的能力。因為思考要化作語言才真正成形，為了要獲得自主思考的能力，就必須能用嚴謹的語彙述說自己的想法。
我覺得有趣的是，「算術」及「幾何」這種數學項目也被列入其中。一般都覺得，跟語言有關的文學或外文屬於文科，而數學則是理科，但是我卻覺得學數學也像是在學習另一種語言，這種語言是為了可以正確地表示事物本質而創造，這一點正是英語或是日語無法達到的。因此，如果明白了數學這種語言，就能夠說出以前無法述說的話語、看清以前不曾見過的事物、思考以前不曾想過的問題。
　　其實，我在小學的時候也不怎麼喜歡算術，但是升上國中之後，卻漸漸地喜歡上數學這門課程。其中的轉折點在於―我終於體會到「用自己的頭腦思考的快感」，能正確地解答課本上的數學問題，找到獨一無二的答案。能夠利用自己的力量解決學校沒有教過的問題， 更能得到滿足的喜悅。而且即使不問老師，就能夠自行判斷解答到底正不正確，就好像小嬰兒剛開始學走路時，用自己的雙腳一步一步踏出去一般，在解題的過程中會得到一股新的力量，令人感覺更新更廣的世界在眼前展開。我希望也能讓妳體會到那種喜悅。
　　這本書會提到一些關於讓21世紀的人生更有意義的數學。當然，如果想要有系統地學習數學的話，學校的教科書是最好的教材。剛剛提到數學就像語言一般，如果用法語來譬喻的話，這本書不是從最初級的文法開始教的教科書，反而像是去法國旅行時能派上用場的會話書。就好比到巴黎的餐廳裡用法語點餐時，想要奢侈一下點一些高級餐點而請服務生介紹今日推薦時，有能力判斷哪一項是不點會後悔、絕對不可錯過的重點。或是，就像參觀羅浮宮美術館，讓古時候的偉大藝術品豐富心靈，這本書也是這樣，在敘述實際應用的數學，同時也述說了從古巴比倫以及古希臘時代開始孕育的數學的偉大之處。
我並不是一位數學家。從1989年在東京大學取得物理學博士學位開始，五年後在加州大學柏克萊分校擔任教授，甚至是2000年調職到加州理工大學，我一直都身處物理學界。然而，到了2010 年， 數學系的老師們來邀請我，希望我也兼任數學系的教授。我覺得我沒有證明過可以在歷史上留名的定理，因此婉拒了他們的好意，然而對方卻說「對數學有貢獻的方法並不只是證明定理而已，你的研究可以提出新的數學問題，刺激數學產生新的發展」，因此我接受了這項邀請。實際上，的確有以我的名字命名的數學預測，其中有幾個預測被數學家們利用嚴謹的方法證明了。因為這樣，我不是證明定理的數學家，但是卻被認為是數學的「使用者」。這本書中所寫的，就是從一位使用者的角度看到的數學。
無法完整收錄在本書中的解說、話題或是參考文獻，我都公開在我的網頁上的附錄中。這樣的話，當數學有新的進展時，也可以立刻在網頁上更新，或是可以追加新的參考文獻。當然，即使不讀參考附錄也不會妨礙閱讀，只是如果想要知道得更深入的話，請參考http:// ooguri.caltech.edu/japanese/mathematics。
那麼，就讓我們開始吧。 導 讀 一本用數學寫下的經典童話（賴以威） 前 言 送給女兒的數學課 第一話 利用不確定的資訊來判斷 序 O.J. 辛普森（O.J. Simpson）判決案辯護方教授的主張 1 首先來擲骰子吧 2 不會輸的必勝法 3 條件機率以及貝氏定理 4 接受乳癌診斷到底有沒有意義呢 5 從經驗中學習變成從數學學習 6 重大核能事故再次發生的機率 7 O.J. 辛普森有罪嗎？ 第二話 回歸基本原理 序 為了創新所需要的能力 1 加法、乘法的三項規則 2 有了減法，然後發現了「零」 3 為什麼負負得正 4 只要有分數，什麼都能分割 5 假分數→帶分數→連分數 6 利用連分數來製作曆法 7 其實不想承認的無理數 8 二次方程式的華麗歷史 第三話 天文數字也不可怕 序 世界初次的原子彈核爆實驗與費米推定 1 大氣中的二氧化碳到底增加了多少呢 1.1 人類究竟消耗了多少能量呢 1.2 人類排放出了多少二氧化碳呢 2 出現天文數字也不可怕 3 讓天文學家的壽命延長兩倍的祕密武器 4 什麼樣的儲蓄方法能讓複利效果最大化呢？ 5 銀行存款要幾年才會變成兩倍呢？ 6 尋找自然法則中的對數 第四話 不可思議的質數 序 純粹數學之花 1 用「埃拉托斯特尼（Eratosthenes）篩法」尋找質數 2 質數有無限多個 3 質數的出現是有規律的 4 利用「巴斯卡三角形」判定質數 5 通過費馬測試就是質數？ 6 守護通訊祕密的「公開金鑰密碼」是什麼？ 7 「公開金鑰密碼」的鑰匙─歐拉定理 8 信用卡號碼的傳送與接收 第五話 無限世界與不完備定理 序 歡迎光臨「加州旅館」 1 「1=0.99999…」是無法認同的嗎？ 2 阿基里斯追不上烏龜嗎 3 「現在，我正在說謊」 4 「不在場證明」是「反證法」 5 這就是哥德爾的不完備定理！ 第六話 測量宇宙的樣貌 序 古希臘人要怎樣測量地球的大小呢 1 基本中的基本──三角形的性質 1.1 證明三角形內角和是180 度 1.2 一輩子也忘不了的「畢達哥拉斯定理」証明法 2 劃時代的想法「笛卡兒座標系」 3 6 維空間、9 維空間、甚至10 維空間 4 歐幾里德定理不成立的世界 5 僅僅只有平行線公理不成立的世界 6 不需從外面觀察就可以知道二維面形狀的「絕妙定理」 7 畫一個邊長100億光年的三角形 第七話 微積分從積分開始 序 阿基米德的信 1 為什麼「從積分開始」呢 2 說到底，面積到底要怎樣計算 3 什麼圖形都ok 的、「阿基米德逼近法」 4 積分究竟在算什麼呢 5 試著積分各式各樣的函數吧 6 飛行中的箭是靜止的嗎 7 微分是積分的逆算 8 指數函數的微分與積分 第八話 真實存在的「幻想的數」 序 幻想的朋友、幻想的數 1 不管怎樣都會出現「平方之後變成負數」 2 從一維的實數到二維的複數 3 複數的乘法是「回轉延伸」 4 利用乘法推導的「加法定理」 5 幾何問題，用方程式來解答！ 6 連結三角函數與指數函數的歐拉公式 第九話 測量難度與美 序 伽羅瓦、20 年的生涯與不滅的功績 1 什麼是圖形的對稱性 2 「群」的發現 3 二次方程式「公式解」的祕密 4 三次方程式、為什麼有解 5 「方程式有解」究竟是怎樣一回事呢 6 五次方程式與正20 面體 7 伽羅瓦最後的信 8 算式的難度與形式的美 9 多擁有一種靈魂 後記